Différences

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--- fr:electronics:elements_fini [30/08/2021 22:33]
Keuronde créée
+++ fr:electronics:elements_fini [17/09/2021 22:24] (Version actuelle)
Bessat Matthieu Ajout de latex (référence à U_n) [Première ligne]
@@ Ligne 3: / Ligne 3: @@
 Ceci est un exemple avec quelques explications sur l'utilisation de la méthode des éléments finis pour modéliser un système.
-Nos n'aborderons pas ici les théories mathématiques, les notions de convergence. Le but est d'avoir quelque chose d'abordable, un peu à l'opposé de [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis|l'article de Wikipédia]]
+Nos n'aborderons pas ici les théories mathématiques, les notions de convergence. Le but est d'avoir quelque chose d'abordable, un peu à l'opposé de [[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis|l'article de Wikipédia]].
+Voici le système que nous étudierons :
+{{ :fr:electronics:moteur_pas_a_pas_bobine.png |}}
+=====  Un peu de théorie =====
+Notons :
+  * $U_n$ = la tension d'alimentation
+  * $U_r$ = la tension aux bornes de la résistance
+  * $U_l$ = la tension aux bornes de la bobine
+  * $E$ = la force contre électromotrice
+Les tensions s'ajoutent ainsi :
+$$ U_n = U_r + U_l + E$$
+Nous supposerons $E$ négligeable devant les autres tensions.
+$$ U_n = U_r + U_l $$
+Avec
+$$ U_r = R * I $$
+$$ U_l = L * \frac{di}{dt}$$
+Ce qui donne l'équation différentielle :
+$$ U_n = R*I + L \frac{di}{dt} $$
+Pas de résolution analytique ici. Ces solutions ne sont valable que pour quelques cas particuliers de $U_n$. Nous utiliserons la méthode des éléments finis.
+C'est plus drôle et c'est ce que nous feront ici. L'art est de réaliser les calculs dans le bon ordre.
+Dans cette équation, il y a une variable d'état (le courant) reconnaissable au fait que la variable et sa dérivée interviennent dans l'équation. Cette équation s'étend sur une seule dimension : le temps.
+===== Conditions aux limites =====
+ Partons du principe que $U_n$ est constant, que le courant est nul à t=0.
+===== Grandeurs à calculer =====
+Voici les calculs à réaliser, dans l'ordre :
-C'est plus drôle et c'est ce que nous feront ici. L'art est de réaliser les calculs dans le bon ordre. Partons du principe que $U_n$ est constant, que le courant est nul à t=0.
   - Calcul de la tension de la résistance : $ U_r = R * I $
-  - Calcul de la tension de la bobine : $ U_l = U_n - U-r $
+  - Calcul de la tension de la bobine : $ U_l = U_n - U_r $
   - Calcul de la variation de courant : $U_l = L * \frac{di}{dt}$ soit $di = \frac{U_l }{L} * dt$. $dt$ est votre pas de temps.
-Au pas de temps suivant calculez le nouveau courant avec les valeur de la ligne précédente :
+  - Courant au pas suivant $I_{n+1} = I_{n} + di_{n}$
-$Courant_{n+1} = I + di$
-Prenez votre tableur, dans la première feuille, entrez vos paramètres :
+===== Utilisation du tableur =====
+==== Les paramètres ====
+Prenez votre tableur, nommez votre première feuille "Paramètres" et entrez vos paramètres :
   * L'inductance
   * La résistance
-  *
+  * Le pas de temps
-Prenez un tableau, avec une ligne par pas de temps (0s, 0,001s, 0,002s, etc.).
+Profitez-en pour nommer les cellules dans lesquels vous entrez vos paramètres.
+{{ :fr:electronics:math_elem_fini_nommage.png |}}
+==== Première ligne ====
+Sur une seconde feuille, initialisez votre tableau.
 Organisez vos colonnes ainsi :
@@ Ligne 29: / Ligne 66: @@
   - Tension de la résistance
   - Tension de la bobine
-  - Courant au pas suivant : Nommez le "Courant (n+1)"
+  - Variation de courant
+Et construisez votre temps : indiquez que votre temps à la ligne suivante est égale à votre temps à la ligne du dessus plus votre pas de temps. Et propagez votre formules sur les 30 à 50 lignes suivantes.
+//Note : sur l'image, les formules sont visibles (et non les valeurs calculées).//
+{{ :fr:electronics:math_elem_fini_tableau_temps.png |}}
+Mettez $U_n$ à une valeur fixe.
+Utilisez ce qui a été défini aux conditions limites pour renseigner le courant à $t=0$.
+Pour les autres valeurs, utilisez les formules suivantes :
+  - Calcul de la tension de la résistance : $ U_r = R * I $
+  - Calcul de la tension de la bobine : $ U_l = U_n - U_r $
+  - Calcul de la variation de courant : $di = \frac{U_l }{L} * dt$. $dt$ est votre pas de temps, noté (A3-A2) sur l'image.
+{{ :fr:electronics:math_elem_fini_tableau.png |}}
-Sur la première ligne :
+Propagez vos formules vers le bas et vous aurez un graphique semblable à ceux présentés sur le [[fr:electronics:moteur_pas_a_pas|pilotage d'un moteur pas à pas]].
-  * Tension $U_n$
-  * Courant : 0
-  * Tension de la résistance : R * [Valeur du courant
+{{ :fr:electronics:moteur_pas_a_pas_ech_5_6v.png |}}
+Maintenant, nous vous laissons remplacer la tension d'alimentation $U_n$ qui était constante, par une formule : donnez à $ U_n $ la valeur 12, si le courant au pas précédent est inférieur à 0,9A, 0 sinon.