Méthode des éléments finis

Ceci est un exemple avec quelques explications sur l'utilisation de la méthode des éléments finis pour modéliser un système.

Nos n'aborderons pas ici les théories mathématiques, les notions de convergence. Le but est d'avoir quelque chose d'abordable, un peu à l'opposé de l'article de Wikipédia.

Voici le système que nous étudierons :

Notons :

• $U_n$ = la tension d'alimentation
• $U_r$ = la tension aux bornes de la résistance
• $U_l$ = la tension aux bornes de la bobine
• $E$ = la force contre électromotrice

Les tensions s'ajoutent ainsi : $$ U_n = U_r + U_l + E$$ Nous supposerons $E$ négligeable devant les autres tensions. $$ U_n = U_r + U_l $$ Avec $$ U_r = R * I $$ $$ U_l = L * \frac{di}{dt}$$ Ce qui donne l'équation différentielle : $$ U_n = R*I + L \frac{di}{dt} $$

Pas de résolution analytique ici. Ces solutions ne sont valable que pour quelques cas particuliers de $U_n$. Nous utiliserons la méthode des éléments finis.

C'est plus drôle et c'est ce que nous feront ici. L'art est de réaliser les calculs dans le bon ordre.

Dans cette équation, il y a une variable d'état (le courant) reconnaissable au fait que la variable et sa dérivée interviennent dans l'équation. Cette équation s'étend sur une seule dimension : le temps.

Partons du principe que $U_n$ est constant, que le courant est nul à t=0.

Voici les calculs à réaliser, dans l'ordre :

1. Calcul de la tension de la résistance : $ U_r = R * I $
2. Calcul de la tension de la bobine : $ U_l = U_n - U_r $
3. Calcul de la variation de courant : $U_l = L * \frac{di}{dt}$ soit $di = \frac{U_l }{L} * dt$. $dt$ est votre pas de temps.
4. Courant au pas suivant $I_{n+1} = I_{n} + di_{n}$

Prenez votre tableur, nommez votre première feuille “Paramètres” et entrez vos paramètres :

• L'inductance
• La résistance
• Le pas de temps

Profitez-en pour nommer les cellules dans lesquels vous entrez vos paramètres.

Sur une seconde feuille, initialisez votre tableau.

Organisez vos colonnes ainsi :

1. Temps
2. Tension $U_n$ (fixe - même valeur sur toutes les lignes)
3. Courant : (première valeur à 0)
4. Tension de la résistance
5. Tension de la bobine
6. Variation de courant

Et construisez votre temps : indiquez que votre temps à la ligne suivante est égale à votre temps à la ligne du dessus plus votre pas de temps. Et propagez votre formules sur les 30 à 50 lignes suivantes.

Note : sur l'image, les formules sont visibles (et non les valeurs calculées).

Mettez $U_n$ à une valeur fixe.

Utilisez ce qui a été défini aux conditions limites pour renseigner le courant à $t=0$.

Pour les autres valeurs, utilisez les formules suivantes :

1. Calcul de la tension de la résistance : $ U_r = R * I $
2. Calcul de la tension de la bobine : $ U_l = U_n - U_r $
3. Calcul de la variation de courant : $di = \frac{U_l }{L} * dt$. $dt$ est votre pas de temps, noté (A3-A2) sur l'image.

Propagez vos formules vers le bas et vous aurez un graphique semblable à ceux présentés sur le pilotage d'un moteur pas à pas.

Maintenant, nous vous laissons remplacer la tension d'alimentation $U_n$ qui était constante, par une formule : donnez à $ U_n $ la valeur 12, si le courant au pas précédent est inférieur à 0,9A, 0 sinon.